مثلثات یا سه‌بَرسنجی (به انگلیسی: Trigonometry) یکی از شاخه‌های ریاضیات است که روابط میان طول اضلاع و زاویه‌های مثلث را مطالعه می‌کند. نخستین کاربرد مثلثات در مطالعات اخترشناسی بوده‌است. اکنون مثلثات کاربردهای زیادی در ریاضیات محض و کاربردی دارد.

بعضی از روش‌های بنیادی تحلیل، مانند تبدیل فوریه و معادلات موج، از توابع مثلثاتی برای توصیف رفتار تناوبی موجود در بسیاری از فرایندهای فیزیکی استفاده می‌کنند. هم‌چنین مثلثات پایه علم نقشه‌برداری است.

ساده‌ترین کاربرد مثلثات در مثلث قائم‌الزاویه است. هر شکل هندسی دیگری را نیز می‌توان به مجموعه‌ای از مثلث‌های قائم‌الزاویه تبدیل کرد. شکل خاصی از مثلثات، مثلثات کروی است که برای مطالعه مثلثات روی سطوح کروی و منحنی به کار می‌رود.

تاریخچه

احتمالاً مثلثات برای استفاده در ستاره‌شناسی ایجاد شده و کاربردهای اولیه آن نیز در همین باره بوده‌است. از ابرخس ستاره شناس یونانی به عنوان پدر مثلثات یاد می شود.

واژگان مثلثات در متون فارسی و عربی قدیم با امروزه تفاوت داشت. برخی از این تفاوت‌ها از این قرار است:

کلیات

تابع‌های اصلی مثلثات

 

اجزای مثلث قائم الزاویه

مجموع زاویه‌های داخلی مثلث برابر ۱۸۰ درجه است؛ بنابراین در مثلث قائم‌الزاویه با داشتن مقدار یک زاویه تند، می‌توان مقدار زاویه دیگر را به دست آورد. با مشخص بودن زاویه‌ها می‌توان نسبت میان اضلاع را یافت. به این ترتیب، اگر اندازه یک ضلع معلوم باشد، اندازه دو ضلع دیگر قابل محاسبه است. نسبت میان اضلاع مثلث، با استفاده از توابع مثلثاتی زیر، محاسبه می‌شود. در شکل روبرو، برای زاویه تند A که مجاور وتر c و ضلع b و روبرو به ضلع a است، داریم:

• تابع سینوس که به صورت نسبت ضلع مقابل به وتر تعریف می‌شود: {\displaystyle \sin A={\frac {a}{\,c\,}}}
• تابع کسینوس که به صورت نسبت ضلع مجاور به وتر تعریف می‌شود: {\displaystyle \cos A={\frac {b}{\,c\,}}}
• تابع تانژانت که به صورت نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور تعریف می‌شود: {\displaystyle \tan A={\frac {a}{\,b\,}}={\frac {a}{\,c\,}}*{\frac {c}{\,b\,}}={\frac {a}{\,c\,}}/{\frac {b}{\,c\,}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.}

توابع مثلثاتی برای زاویه B نیز به همین ترتیب قابل محاسبه هستند. از آن‌جایی که ضلع مقابل زاویه A مجاور زاویه B است و برعکس، سینوس یک زاویه برابر با کسینوس زاویه دیگر است. به عبارت دیگر: {\displaystyle \sin A=\cos B} و {\displaystyle \cos A=\sin B}.

عکس تابع‌های بالا نیز با نام‌های سکانت (معکوس کسینوس)، کسکانت (معکوس سینوس) و کتانژانت (معکوس تانژانت) تعریف می‌شوند.

سکانت:	{\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {c}{b}}}
کسکانت:	{\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {c}{a}}}
کتانژانت:	{\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}}

دایره واحد مثلثاتی

 

نمایش تابع‌های مثلثاتی زاویه θ روی دایره واحد مثلثاتی

تابع‌های مثلثاتی برای زاویه‌های تند بر اساس رابطه‌های بالا محاسبه می‌شوند. برای زاویه‌های بزرگتر از ۹۰ درجه (π/۲ رادیان)، می‌توان از مفهوم دایره مثلثاتی بهره گرفت. در دایره مثلثاتی، هر زاویه‌ای از صفر تا ۳۶۰ درجه را می‌توان رسم کرد و تابع‌های مثلثاتی آن را به دست آورد. همان گونه که در شکل روبرو دیده می‌شود، تابع‌های مثلثاتی برای زاویه‌های بزرگتر از ۹۰ درجه را می‌توان به صورت تابعی از زاویه‌های کوچکتر از ۹۰ درجه، یافت. برای نمونه، تابع‌های مثلثاتی برای زاویه‌های ربع دوم دایره (۹۰ تا ۱۸۰ درجه) با دوران دایره مثلثاتی به میزان ۹۰ درجه، به صورت جدول زیر به دست می‌آیند:

دوران π/۲
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}}

تناوب

تابع‌های مثلثاتی برای زاویه‌های بزرگتر از ۳۶۰ درجه (۲π) و کوچکتر از صفر درجه نیز تعریف می‌شوند. برای هر زاویه 'θ مقدار تابع، برابر با مقدار تابع برای زاویه θ درون دایره (‎۰<θ<۳۶۰) خواهد بود که در رابطه θ'=۳۶۰+۲kθ صدق کند؛ بنابراین تابع‌های مثلثاتی با یک تناوب مشخص تکرار می‌شوند. دوره تناوب تابع‌های تانژانت و کتانژانت، ۱۸۰ درجه (π) و دوره تناوب سایر تابع‌ها ۳۶۰ درجه (۲π) است.

تابع وارون

برای تابع‌های مثلثاتی، تابع وارون در بازه مشخصی که شرط یک به یک بودن تابع برقرار باشد، تعریف می‌شود. این تابع‌ها متناظر با تابع اصلی، آرک‌سینوس، آرک‌کسینوس و آرک‌تانژانت نامیده می‌شوند.

روابط اصلی

بعضی از رابطه‌های مثلثاتی برای همه زاویه‌ها بر قرار هستند که به این رابطه‌ها، اتحاد مثلثاتی گفته می‌شود. از جمله، برخی از این اتحادها در تعیین مشخصات مثلث (مانند مساحت و شعاع دایره محیطی) کاربرد دارند و برخی برای محاسبه تابع‌های مثلثاتی برای مجموع یا تفاضل دو زاویه مورد استفاده قرار می‌گیرند.

اتحادهای فیثاغورس

اتحاد اصلی به صورت زیر است:

{\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ }

می‌توان از اتحاد بالا دو اتحاد دیگر را استخراج نمود:

{\displaystyle \sec ^{2}A-\tan ^{2}A=1\ }

{\displaystyle \csc ^{2}A-\cot ^{2}A=1\ }

کاربرد اتحادها در مثلث

قانون سینوس‌ها

با استفاده از قانون سینوس‌ها در هر مثلث دلخواه، می‌توان با معلوم بودن اندازه یک ضلع و دو زاویه مجاور آن، اندازه دو ضلع دیگر را محاسبه نمود. هم‌چنین می‌توان مساحت مثلث (Δ) و شعاع دایره محیطی آن (R) را به دست آورد:

{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }}}

بر اساس اتحاد بالا، مساحت مثلث با معلوم بودن اندازه دو ضلع و زاویه میان آن‌ها از رابطه زیر، قابل محاسبه است:

{\displaystyle {\mbox{Area}}=\Delta ={\frac {1}{2}}ab\sin C.}

قانون کسینوس‌ها[ویرایش]

با استفاده از قانون کسینوس‌ها در هر مثلث دلخواه، با معلوم بودن اندازه دو ضلع و زاویه میان آن‌ها، اندازه ضلع سوم به صورت زیر تعیین می‌شود:

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,\,}

رابطه‌های تبدیل زاویه

{\displaystyle \sin(A\pm B)=\sin A\ \cos B\pm \cos A\ \sin B}

{\displaystyle \cos(A\pm B)=\cos A\ \cos B\mp \sin A\ \sin B}

{\displaystyle \tan(A\pm B)={\frac {\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\ \tan B}}}

{\displaystyle \cot(A\pm B)={\frac {\cot A\ \cot B\mp 1}{\cot B\pm \cot A}}}

برخی روابط مثلثاتی

{\displaystyle \sin(2\alpha )=2sin(\alpha )cos(\alpha )}

{\displaystyle cos(2\alpha )=cos^{2}(\alpha )-sin^{2}(\alpha )=1/2(1-sin(2\alpha ))=1/2(1+cos(2\alpha ))}

نگارخانه

واژه یا کلمه (به عربی: كلمة) به مجموعهٔ حروفی که یک واحد را تشکیل دهند گفته میشود. در دستور زبان فارسی، معمولاً کلمه را به نُه بخش تقسیم می‌کنند: اسم، صفت، عدد، کنایه، فعل، قید، حرف اضافه، حرف ربط، صوت.

«واژه» کوچک‌ترین شکل معنادار از حرفها می‌باشد اگر بتواند به‌تنهایی به‌کار رود. برای نمونه، «-انه» در واژه‌هایی مانند مردانه، زنانه، مهربانانه، دارای معنی ویژهٔ خود است، ولی از آن جا که نمی‌توان آن را به‌تنهایی به‌کار برد، واژه نامیده نمی‌شود. بسیاری از واژه‌ها به بخش‌های کوچک‌تری بخش‌پذیرند که به آن‌ها تکواژ گفته می‌شود. تکواژ کوچکترین بخش کلمه است که در بسیاری از موارد یک کلمهٔ مستقل محسوب شده و در برخی موارد نیز کلمه به حساب نمی‌آید.

بیشتر زبان‌شناسان بر این باورند که بهترین روش برای تعریف واژگان بر پایهٔ قالب‌هایی است که واژه‌ها از جنبه‌های نحوی اختیار می‌کنند. پذیرفته‌ترین تعریف ارائه‌شده بر این مبنا عبارت است از:

«واژه، فرم آزادِ^[۱] کمینه^[۲] در یک زبان است.»

فرم آزاد به بن‌پاره‌ای از زبان گفته می‌شود که بتواند به‌صورت تنها وجود داشته باشد و به مکان و موقعیت کاملاً ثابت و تغییرناپذیری نسبت به اجزاء زبانی محیط پیرامون خود نیاز نداشته باشد. مطابق تعریف بالا، «شکارچی» یک واژه است، چرا که، می‌تواند به‌تنهایی پدیدار شود و پدیداریِ آن در محل‌های گوناگونی در طول جمله رخ دهد.

مثال‌ها:

1. شکارچیان به تعقیب آهو پرداختند.
2. آهو توسط شکارچیان مورد تعقیب قرار گرفت (یا: تعقیب شد).

در مقام مقایسه، واحدهای «چی» و «ان» (در شکارچیان) کلمات به حساب نمی‌آیند، زیرا اجازه ندارند که به حالت منزوی وجود پیدا کنند، بلکه، باید حتماً موقعیت مکانی‌شان نسبت به سایر اجزاء زبانی مجاور ثابت و تغییرناپذیر باقی بماند.

انواع واژه[ویرایش]

واژه به‌طورکلی به هفت دسته تقسیم می‌شود که عبارت‌اند از: اسم، فعل، حرف، صفت، ضمیر، قید، صوت. مثلاً آهو یک اسم و سبز یک صفت است.

صرف[ویرایش]

مقالهٔ اصلی: صرف

واژه‌های مورد مصرف انسان در زبان‌های طبیعی را می‌توان به دو دسته قسمت کرد:

• واژه‌های ساده
• واژه‌های پیچیده

واژگان ساده آن‌هایی هستند، که نمی‌توانیم به یکاهای معنادار کوچک‌تر خردشان کنیم، درحالی‌که تکه‌های واژگان پیچیده را می‌توان واکاوی کرد.

یکی از درس های ساده مبحث بردار ، ضرب عدد در بردار هست . در این درس میخوایم ضرب عدد در بردار رو هم به صورت ترسیمی و هم به صورت مختصاتی به شما آموزش بدیم. وقتی یه عددی توی برداری ضرب میشه ، به این معنی هست که اندازه بردار قراره تغییر کنه. مثلا اگه عدد ۲ توی برداری ضرب بشه ، یعنی اینکه طول بردار باید …

ضرب عدد در بردار به دو روش ترسیمی و مختصاتی

یکی از درس های ساده مبحث بردار ، ضرب عدد در بردار هست . در این درس میخوایم ضرب عدد در بردار رو هم به صورت ترسیمی و هم به صورت مختصاتی به شما آموزش بدیم. پیشنهاد میکنم درس قبلی با عنوان جمع بردارها به روش متوالی و روش متوازی الاضلاع رو هم بخونید تا با مبحث بردارها بیشتر آشنا بشید.

ضرب عدد در بردار به روش ترسیمی :

وقتی یه عددی توی برداری ضرب میشه ، به این معنی هست که اندازه بردار قراره تغییر کنه. مثلا اگه عدد ۲ توی برداری ضرب بشه ، یعنی اینکه طول بردار باید ۲ برابر شه . اگه عدد ۱/۳ توی برداری ضرب شد ، یعنی اینکه طول بردار باید ۱/۳ برابر بشه. یا به زبون ساده تر طول بردار باید تقسیم بر ۳ بشه.

پس حواسمون باشه که وقتی یه عدد بزرگتر ۱ در برداری ضرب بشه ، اندازه بردارمون بزرگتر و زمانی هم که عددش کوچکتر از ۱ باشه ، اندازه بردارمون کوچیکتر میشه.

به شکل های زیر توجه کنین :

اگه دقت کرده باشین فقط اندازه رو تغییر دادیم اما راستا و جهت تغییر نکرده. اگه بیایم جهت بردار رو عوض کنیم یا اینکه عمودی تر و افقی ترش کنیم . مسئله رو اشتباه حل کردیم.

شکل های زیر نمونه هایی از جواب های غلط هستش :

اگه عددی که داره توی بردار ضرب میشه ، یک عدد منفی بود. اون وقت آیا ما باید کار خاصی انجام بدیم یا اینم با قبلیا فرقی نداره !؟؟

جواب این سوال رو به صورت یک نکته براتون مینویسم:

نکته : اگر عددی منفی در بردار ضرب بشه ، علاوه بر اینکه اندازه بردار رو تغییر میده ، جهت بردار رو هم عوض میکنه

مثلا اگه خودش از چپ به راست بوده فلش بردارمون ، ما باید اون رو از راست به چپ بکشیم. چند نمونه رو توی شکل زیر می بینید :

یکی از دانش آموزان سوال کرده بوده که بعضی وقت ها هیچ عددی نمی بینیم که ضرب شده باشه ، فقط یه علامت منفی پشت بردار میذارن. این رو باید چیکار کنیم ؟!

یک علامت منفی تنها یعنی که شما فقط باید جهت بردار رو عوض کنید ، همین . در این حالت گفته میشه شما بردار قرینه رو رسم کردید. مثل شکل زیر :

ضرب عدد در بردار به روش مختصاتی :

این روش هم به همون آسونی روش قبل هستش. برای ضرب عددی توی بردار به روش مختصاتی فقط کافیه اون عدد رو  هم در طول و هم در عرض بردار ضرب کنیم.

این که عددمون صحیح باشه یا کسری یا اعشاری برای ما فرقی نمی کنه ، فقط کافیه که ما درست ضرب کردن رو بلد باشیم.

به مثال های زیر توجه کنید :